Question

在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC上任意一点.求证:AP平方+PB*PC=25

在三角形ABC中,AB=AC=5,P为BC上任意一点.求证:AP平方+PB*PC=25

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Answer 1

证：过A作直线AE⊥BC交BC于E点，设P点在B、E两点之间，已知AB=AC=5，则BE=CE=（PB+PC）/2，
PE=BE-PB=（PB+PC）/2-PB=（PC-PB）/2
在直角△ACE和直角△AEP中，根据勾股定理，得下方程组：
AE^2 +CE^2 =AE^2 +（PB+PC）^2 /4=AC^2=25 ......(1)
AE^2 +PE^2 =AE^2 +（PC-PB）^2/4=AP^2 ......(2)

(1)-(2)得
（PB+PC）^2 /4-（PC-PB）^2/4=25-AP^2
PB*PC=25-AP^2
故AP^2+PB*PC=25
即AP平方+PB*PC=25

Answer 2

证明：过A作直线AD⊥BC交BC于D点，则BD=CD
根据勾股定理有：
AB²-BD²=AD²=AP²-PD²∴AB²=AP²+BD²-PD²∴AP²+（BD+PD）（BD-PD）=25∴AP²+PB*PC=25