Question

已知函数f（x）=ax+b/（x-1）-a在x=3处切线方程为（2a-1）x-2y+3=0

1.若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上任意一点的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值
2.是否存在实数m，x，使得f（x）+f（m-x）=k对于定义域内的x都成立
3.若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三个解，求实数t的范围

Answer 1

1)f（x）=ax+b/（x-1）-a 则f'(x)=a-b/(x-1)^2
在x=3处有：f'(3)=a-b/4
又有在x=3处切线方程为（2a-1）x-2y+3=0 则其斜率为（2a-1）/2
所以f'(3)=a-b/4 =（2a-1）/2
解得b=2
所以：g(x)=f(x+1)=a(x+1)+2/x-a=ax+2/x
g'(x)=a-2/x^2
曲线g（x）上任意一点的切线:y=(a-1/x0^2)(x-x0)-y0
则该切线分别与直线x=0和直线y=ax相交于（0，2/x0+y0-ax0）,（x0-ax0^3/2+y0x0^2/2,ax0-a^2x0^3/2+ay0x0^2/2）
则曲线g（x）上任意一点的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为
S=(2/x0+y0-ax0)(x0-ax0^3/2+y0x0^2/2)/2
又y0=ax0+2/x0
解得S=4 为定值
2)