指数函数的极限运算
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首先告诉你方法,0/0型未定式求极限一般用洛必达法则.
下面解答
(1)
x-->0时,由于lim[f(x)]=0,limx=0,属于0/0型未定式
由洛必达法则可知lim[f(x)/x]=lim[f'(x)/x']
=lim[(2^x+3^x-2)'/x']=lim(2^xln2+3^xln3)
=ln2+ln3=ln6≠0,
所以f(x)=2^x+3^x-2
与x为同阶无穷小.
(2)
x-->0时，由于lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]=1
lim(1/x)=∞,属于1^∞型未定式,将1^∞型转化为0/0型未定式形式,再由洛必达法则求解.lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)
=lim{e^[(1/x)ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]}
=e^{lim[ln[(a^x+b^x+c^x)/3]/x]}
=e^{lim[[ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]'/x']}
=e^(lna+lnb+lnc)
=e^[ln(abc)]
=abc
下面解答
(1)
x-->0时,由于lim[f(x)]=0,limx=0,属于0/0型未定式
由洛必达法则可知lim[f(x)/x]=lim[f'(x)/x']
=lim[(2^x+3^x-2)'/x']=lim(2^xln2+3^xln3)
=ln2+ln3=ln6≠0,
所以f(x)=2^x+3^x-2
与x为同阶无穷小.
(2)
x-->0时，由于lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]=1
lim(1/x)=∞,属于1^∞型未定式,将1^∞型转化为0/0型未定式形式,再由洛必达法则求解.lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)
=lim{e^[(1/x)ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]}
=e^{lim[ln[(a^x+b^x+c^x)/3]/x]}
=e^{lim[[ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]'/x']}
=e^(lna+lnb+lnc)
=e^[ln(abc)]
=abc
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2024-10-13 广告
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