Question

已知二次函数f(x)=ax^2-2ax+2,若x属于[0,2]且x取唯一值时函数有最小值1,求a

Answer 1

解：原函数解析式可化为：
y=a（x^2-2x+1）+2-a
=a（x-1）^2+2-a
由已知条件可知，满足已知条件，a大于0
x=1时，y取最小值
即y=2-a=1
则a=1

Answer 2

解：1
∵f(x)是二次函数
∴a≠0
∵f(x)在R内关于x=-（-2a)/2a=1对称
又x属于[0,2]且x取唯一值时函数有最小值1
∵a＞0
x属于[0,2]且x取唯一值时函数有最小值1
即
f(1)=f(x)min=a-2a+2=1
即a=1
2
∵f(x)=X^2-2x+2=(x-1)^2+1
函数二次项系数＞0
∴f(x)开口向上有最小值f(x)max=f(1)=1
∴当x≠1时：不等式大于1恒成立

Answer 3

解：y=a(x-1)^2-a+2
∴二次函数f(x)以x=1为对称轴且开口向上，
又x∈[0,2]且x取唯一值时函数有最小值1
∴当x=1时，f(x)有最小值且：f(x)=-a+2=1
∴a=1
∵f(x)=a(x-1)^2-a+2
又当x∈R，f(x)>1
∴a(x-1)^2>a-1
当a>0时，(x-1)^2>(a-1)/a
又（x-1)^2≥0
∴(a-1)/a≤0
解之得：a≤1
∴0
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