Question

微分方程y'+y/x=1/x^2满足初始条件yIx=1 =0的特解是？

如题，谢谢。。。

Answer 1

y=ln|x|/x

解y'+y/x=0

得y=u/x (u为常数)

用常数变易法，得u'/x=1/x^2

得u=ln|x|+C (C为常数）

y'+y/x=1/x^2的通解为y=(ln|x|+C)/x (C为常数）

由yIx=1 =0

得0=(ln1+C)/1

解得C=0

于是特解为y=ln|x|/x

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。

在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

Answer 2

特解为y=ln|x|/x
解y'+y/x=0
得到y=u/x
(u为常数)
用常数变易法，得u'/x=1/x^2，得到u=ln|x|+C
(C为常数）
于是y'+y/x=1/x^2的通解为y=(ln|x|+C)/x
(C为常数）
由yIx=1
=0得：0=(ln1+C)/1
解得C=0
于是特解为y=ln|x|/x