Question

已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=16．过定点P（-2，0）作直线...

已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2=16．过定点P（-2，0）作直线l与圆C2，圆C1依次相交于点A，P，Q，B，过点P（-2，0）作与直线l垂直的直线交圆C1于另一点C． （1）当直线L的斜率k=2时，求△ABC的面积； （2）当直线l变化时，求线段BC中点M的轨迹．

Answer 1

解：（1）∵直线L的斜率k=2，过定点P（-2，0），
∴直线l的方程为：y=2（x+2），即2x-y-4=0．
圆心O到直线l的距离为：d=|-4|22+12=455．
∴在圆C2：x2+y2=16中，AB=216-(455)2=1655．
∵PC⊥PQ，
∴PC=2d=855．
∴△ABC的面积为：12×855×1655=645．
∴△ABC的面积为：645．
（2）设直线L的斜率k，（k存在，k≠0），
由y=k(x+2)x2+y216得：
（k2+1）x2+4k2x+4k2-16=0，
∴xB=-2k2+23k2+4k2+1yB=2k+2k3k2+4k2+1．
由y=1k(x+2)x2+y2=4得：
（k2+1）x2+4x+4-4k2=0，
（x+2）[（k2+1）x+（2-2k2）]=0，
∴xC=2k2-2k2+1yC=-4kk2+1，
∵点M为线段BC中点，
∴xM=xB+xC2=3k2+4-1k2+1，①
yM=k(3k2+4-1)k2+1，②
∴由①②得：k=yMxM，代入①化简得到：
（x2+y2+x）2=4x2+3y2．
∴（x-1）2+y2=4．
∴线段BC中点M的轨迹是以点（1，0）为圆心，半径为2的圆．