Question

a1=3,an+1=3an/an+2,求an

Answer 1

你这题若是a(n+1)=3a(n)/a(n+2)，则没法求解
若是a(n+1)=3a(n)/[a(n)+2]，则可以求解

由 a(n+1)=3a(n)/[a(n)+2] 可得：
1/a(n+1) = [a(n)+2]/[3a(n)] = 1/3 + (2/3)[1/a(n)]
即：洞数衫1/a(n+1) - 1 = 1/3 + (2/3)[1/a(n)] - 1 = (2/3)[1/a(n)] - 2/3 = (2/3)[1/a(n) - 1]
数列 { 1 - 1/a(n) } 满足：[1 - 1/a(n+1)] / [1 - 1/a(n)] = 2/3
1 - 1/毕羡a(n) = [1 - 1/a(1)](2/纳腔3)^(n-1)
由于：1 - 1/a(1) = 1-1/3=2/3
所以：1 - 1/a(n) = (2/3)^n
1/a(n) = 1-(2/3)^n
所以：a(n) = 1/[1-(2/3)^n] = (3^n)/(3^n-2^n)

Answer 2

取倒数
1/a(n+1)=(an+2)/3an=1/3+2/(3an)
令bn=1/an
b(n+1)=1/3+(2/3)bn
b(n+1)-1=(2/皮族洞3)bn-2/3=(2/3)(bn-1)
所以bn-1等比，q=2/3
b1=1/a1=1/3
bn-1=1/3*(2/3)^(n-1)
bn=1+1/3*(2/燃枯3)^(n-1)
所以an=1/穗核[1+1/3*(2/3)^(n-1)]

Answer 3

将3an×a(n-1)+an-a(n-1)=0（n≥2）两边同时除以an×a(n-1)
整理得： 1/an-1/(an-1)=3　　　(n≥2)
∴　　 1/an=1+3(n-1)=3n-2，　　即 an=1/(3n-2)
n=1时，上举冲式也成立，　故 an=1/(3n-2)
若　　　λan+1/（an+1）≥λ恒成立，　即 λ/（3n-2）+3n+1≥λ恒成立
整理得：昌灶λ≤(3n+1)(3n-2)3(n-1)/[3(n-1)]
设　　　cn=(3n+1)(3n-2)[/3(n-1)] cn+1-cn
=(3n+4)(3n+1)/3n-(3n+1)(3n-2)/[3(n-1)]
=(3n+1)(3n-4)/[3n(n-1)]
∵　　　n≥2，所以上式＞0，即{cn}为单调递增数正迅歼列，所以c2最小， c2=28/3，
∴　　　λ的取值范围为 (-∞，28/3]