求导的问题
1、举个例子f没有导数g没有导数,f(g(x))有导数2、√x的导数是1/(2√x)怎么证明?题目好怪谢谢...
1、举个例子 f没有导数 g没有导数,f(g(x))有导数
2、 √x的导数是1/(2√x) 怎么证明? 题目好怪
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2、 √x的导数是1/(2√x) 怎么证明? 题目好怪
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3个回答
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1。取(0,+∞)上的函数:
f ={ x, x∈Q(有理数);
1/x, x∈(0,+∞)\Q.
g={ 1/x, x∈Q;
x, x∈(0, +∞)\Q.
于是f,g既不连续,也不可导,
f(g(x))={ g(x), g(x)∈Q;
1/g(x), g(x)∉Q
={ 1/x, x∈Q;
1/x, x∉Q
=1/x,
则:(f(g(x)))'=(1/x)'
= -1/(x^2). 有导数。
2。设f(x)=√x, x>=0, t≄0.
于是: f'(x)=lim(t→0)(f(x+t)-f(x))/t
=lim(t→0)(√(x+t)-√x)/t
=lim(t→0)t/(t(√(x+t)+√x))
=lim(t→0)1/(√(x+t)+√x)
=1/(2√x).
f ={ x, x∈Q(有理数);
1/x, x∈(0,+∞)\Q.
g={ 1/x, x∈Q;
x, x∈(0, +∞)\Q.
于是f,g既不连续,也不可导,
f(g(x))={ g(x), g(x)∈Q;
1/g(x), g(x)∉Q
={ 1/x, x∈Q;
1/x, x∉Q
=1/x,
则:(f(g(x)))'=(1/x)'
= -1/(x^2). 有导数。
2。设f(x)=√x, x>=0, t≄0.
于是: f'(x)=lim(t→0)(f(x+t)-f(x))/t
=lim(t→0)(√(x+t)-√x)/t
=lim(t→0)t/(t(√(x+t)+√x))
=lim(t→0)1/(√(x+t)+√x)
=1/(2√x).
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1一些分段函数和一些特殊的函数。比如f=|x|,g=1/|x|,f(g(x))=f*g=1;这个例子可以说明问题咯。
2证明题用定义证,limh-0/x+h-/x比上h=......综上,定义很重要
2证明题用定义证,limh-0/x+h-/x比上h=......综上,定义很重要
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1)不应该是指整个定义域内不可导,而应该是指某些特定的点处。比如:f(x)=1/x,g(x)=2/x在x=0时皆不可导[不存在f'(0),g'(0)],但它们的复合函数f(g(x))=x/2是可导的。
2)[√x]'=(1/2)x^(1/2-1)
=(1/2)x^(-½)
=1/(2√x) 证毕。
2)[√x]'=(1/2)x^(1/2-1)
=(1/2)x^(-½)
=1/(2√x) 证毕。
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