Question

设常数a≥4。证明 当0≤x≤ arctan3x≤ln(1+ax)

数学不等式证明题!求证：（1）当0≤x＜＋∞时,有arctanx≤x; （2）当x>0时,ln
数学不等式证明题!
求证：
（1）当0≤x＜＋∞时,有arctanx≤x;
（2）当x>0时,ln(1+x)>x／(1+x）.

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

(1)
显然,x＝0时,原不等式取等号.
当x>0时,构造函数f(t)＝t-arctant,
则f'(t)＝1-1/(1+t^2)＝t^2/(1+t^2)>0.
∴f(t)为单调递增函数,即x>0时,
∴f(x)>f(0)＝0-arctan0＝0
即x-arctanx>0,
∴arctanx0时,构造函数f(t)＝ln(1+t)-t/(1+t),
则f'(t)＝1/(1+t)-(1+t-t)/(1+t)^2＝t/(1+t)^2>0.
∴f(t)在t>0时单调递增,
即x>0时,f(x)>f(0)＝ln(1+0)-0/(1+0)＝0.
∴ln(1+x)-x/(1+x)>0
从而,x>0时,有ln(1+x)>x/(1+x).