Question

初一奥数题，急！！

给定由2005个数组成的一组数,如果其中每一个数用其余个数之和来代替,所得的2005个数与原来的2005个数完全相同。。证明：这组数的乘积为0。

Answer 1

设2005个数之和为A
替换后的数的和为2005A-A=2004A
2004A=A A=0
说明2005个数和为0
2005个数必定有2004/2＝1002对两两绝对值相等的正负数
另外一个数必定为0
所以2005个数的积为0

Answer 2

一组数为a1,a2,a3,...,a2005，设他们的和为A=∑ai，得到的另一组数为
A-a1, A-a2, A-a3,...,A-a2005
与原来相同，也就是说
A-an = an，an=A/2
则A = 2005*A/2，只有A=0时可能
所以an = 0
这组数的乘积也为0

Answer 3

设这一组数为a1、a2、a3、.....a2005。 这组数的和为s 即：a1+a2+a3+a4+.....+a2005=s
如果其中每一个数用其余个数之和来代替 则
a1=a2+a3+a4+.....+a2005
a2=a1+a3+a4+.....+a2005
a3=a1+a2+a4+.....+a2005
....
....
....
则a1+a2+a3+a4+.....+a2005=s=2004（a1+a2+a3+a4+.....+a2005）
a1+a2+a3+a4+.....+a2005=0
则s=0
因为
a1=a2+a3+a4+.....+a2005=s-a1 则s=2a1
以此类推
s=2a2
.....
.....
s=2a2005
则
s=2a1=2a2=2a3=......=2a2005=0
则a1=a2=a3=...=a2005=0
所以这组数的积a1*a2*a3*....*a2005=0
证明完毕！