证明x>0时,(x^2-1)lnx>=(x-1)^2
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解：x>1,所以,不等式两边除以x-1,则(x+1)lnx≥x-1
令f(x)=(x+1)lnx-x+1
f'(x)=lnx+(x+1)/x-1
`````=lnx+1/x
f''(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²
当x>1时,f''(x)>0,此时f'(x)单调递增
当0<x<1时,f''(x)<0,此时f'(x)单调递减
即x=1时,f'(x)有极小值1>0.所以f(x)单调递增
又f(1)=0,所以当x>1时(x²-1)lnx>(x-1)²
令f(x)=(x+1)lnx-x+1
f'(x)=lnx+(x+1)/x-1
`````=lnx+1/x
f''(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²
当x>1时,f''(x)>0,此时f'(x)单调递增
当0<x<1时,f''(x)<0,此时f'(x)单调递减
即x=1时,f'(x)有极小值1>0.所以f(x)单调递增
又f(1)=0,所以当x>1时(x²-1)lnx>(x-1)²
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2024-10-13 广告
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