Question

一道高一数学概率题.

平面上有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都等于a(a>0),现在把直径等于2r(0<2r<a)的小圆片投掷到此网格上.
1).求小圆片与网格线有公共点的概率
2).求小圆片盖住小网格顶点的概率.

Answer 1

(1)P=1-(a-2r)^2/a^2

(2)P=pi*(2r)^2/(2a)^2=pi*r^2/a^2

解释一下：

（1）先求小圆片与网格线没有公共点的概率。其实小圆片与网格线没有公共点的概率等效于小圆片地外接正方形与网格线没有公共点的概率，只要小圆片地外接正方形的下方定点落在下方的校正方形内即可，所以小圆片地外接正方形与网格线没有公共点的概率=(a-2r)^2/a^2。即小圆片与网格线没有公共点的概率=(a-2r)^2/a^2。所以小圆片与网格线有公共点的概率=1-(a-2r)^2/a^2。

（2）小圆片盖住小网格顶点的概率其实就是小圆片的圆心在以正方形的顶点为圆心的小圆的边界线上滑动时所覆盖的面积与四个小正方形的面积的比值，即为P=pi*(2r)^2/(2a)^2=pi*r^2/a^2。

追问

pi是什么意思?

追答

pi就是3.1415926-3.1415927之间的一个数，圆周率。

Answer 2

考虑小圆片的圆心的投掷的地点，每个网格的小正方形对于该圆心的投掷来说是一致的，考虑其中的一个小正方形，那么满足条件的圆心可以投掷的面积与小正方形总面积的比值就是相应要求的概率。
1、在这个小正方形中，将圆心投掷在每边距离小正方形为r的小小正方形（和小正方形同一个中心，但每条边距离小正方形为r）内时，该圆与网格线是没有交点的，可以试着画下图。
没有交点的概率为(a-2r)^2/a^2，有交点的概率为1-(a-2r)^2/a^2

2、还是在一个小正方形内考虑，原因上面已经说过了
那么此时覆盖格点的圆的圆心必在以正方形的四个顶点各自为圆心半径为r的4个扇形内
此时考虑到圆心落入点能满足条件的面积与总的小正方形面积之比即为能够覆盖格点的概率
所以概率为4*(PI r^2/4)/a^2=PI r^2/a^2

换一种思路答题，希望楼主能接受！
ps:楼上数学帝啊！