Question

已知a,b,c均为正数 证明a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2大于等于六倍根号三

并确定a,b,c为何值时等号成立

Answer 1

由于a,b,c是轮换对称的，所以上式取得最小值时，a,b,c必然相等 a = b = c

于是取最小值时，原式可化简为 3*a^2 + (3/a)^2 = 3*a^2 + 9/(a^2) >= 2 根号( 3*9) = 6根号3

追问

"由于a,b,c是轮换对称的" 我往卷子上怎么写.....

追答

那就假设取最小值时 a,b,c不全相等，取值为a = i,b = j,c = k
原式中把 a, b, c 依次改为 b, c , a, 那么取最小值时则为 b = i, c = j, a = k
但是改为b,c,a之后可以整理成原来的样子 所以又有a = i, b = j, c = k 即
i = j, j = k, k = i. 于是只可能i = j = k 三数全等了。