Question

已知不等式x^2-6x+a(6-a)<0的解集中恰有三个整数,则实数a的取值范围为?

Answer 1

x^2-6x+a(6-a)<0
【x-（6-a）】（x-a）<0
当6-a＞=a即a＜=3时，解集为{x|a＜x＜6-a}，
解集中恰有三个整数，则4>（6-a）-a＞3 （由数轴可得，两解间距离大于3） 1<a＜3/2
当6-a＞a即a＞3时，解集为{x|6-a＜x＜a}
解集中恰有三个整数，则a-（6-a）＞3 ，不成立
总之，1<a＜3/2

Answer 2

x^2-6x+a(6-a)=(x-3)^2-9+a(6-a)=(x-3)^2-(a-3)^2
x^2-6x+a(6-a)<0的解集中恰有三个整数 必然是2，3，4
因此a的取值范围为(1,5)

Answer 3

f(x)=x^2-6x+a(6-a)的图像开口向上，在对称轴x=3处取最小值，自然要满足条件，这就有一个整数了，再找离3最近的整数,f(2)要小于0,2可以的话，4肯定也可以，这就有三个整数了，这样f(1)就必须大于等于0，否则解集就多于三个整数了，所以f(2)=4-12+a(6-a)<0,且f(1)=1-6+a(6-a)>=0,解得
1<=a<2或4<a<=5