Question

设连续函数f（x）在无穷区间内单调有界，{x n}为数列，命题若{x n}收敛，则f（{x n})收敛是否正确。

这事考研题我加了一个条件 函数连续

Answer 1

正确。证明如下：
Xn的极限设为a,那么只需证明对于任意b＞0，都存在正整数α，使得n＞α时，|f(Xn)-f(a)|＜b恒成立
而由函数连续可以知道存在β＞0，使得|Xn-a|＜β的时候，|f(Xn)-f(a)|＜b恒成立
因此存在N,对于任意的β，使得n＞N的时候，|Xn-a|＜β恒成立，进一步|f(Xn)-f(a)|＜b恒成立

所以数列收敛