Question

如何证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半？

Answer 1

取AC的中点E，连接DE。

取BC的中点D  

∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC，  ∵E是AC的中点。

∴DE是△ABC的中位线，  ∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）  

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）  ∴DE垂直平分AC，  ∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

其逆命题：

如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

逆命题是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。

Answer 2

证明过程如下：

取AC的中点E，连接DE。取BC的中点D

∵AD是斜边BC的中线

∴BD=CD=1/2BC

∵E是AC的中点

∴DE是△ABC的中位线

∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE垂直平分AC

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

判定方法：

若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。