Question

大学物理 刚体力学 中的一道题！

一质量为 m 半径为 R 的圆盘，绕通过中心且垂直盘面的轴转动，转速为 n rad/s.此时将盘轻轻地放到粗糙的水平上，圆盘与平面间的摩擦因数为 μ 。
1.证明圆盘所受的摩擦力矩为M=μmgR2/3.
2.问圆盘转过多少圈后会停下？

Answer 1

1.对于每一个微元，Δƒ=μmgrΔθ*Δr/πR²

微元的摩擦力矩为ΔM=Δƒ*r=μmgr²Δθ*Δr/πR²

一圈的摩擦力矩为ΔM'=∑ΔM=μmgr²*2π*Δr/πR²=2μmgr²Δr/R²

总摩擦力矩为M=∑ΔM'=2μmg*R³/3*Δr/R²=μmgR*2/3

2.圆盘转动惯量为mR²/2（推导同上，也可查资料）

动能为mR²n²/2

转过角度θ=mR²n²/2÷2μmgR/3=3n²R/4μg

共3n²R/8πμg圈

Answer 2

圆盘面密度 σ = m/(πR^2)
取厚度为 dr 的圆环, 摩擦力矩为 μ * σ * 2πr dr * g * r = 2μmg/R^2 * r^2dr
从 0 积分到 R
M = 2μmg/3R^2 * {积分(0-R) 3r^2dr} = 2μmg/3R^2 * R^3 = μmgR * 2/3

圆盘转动惯量 I = mR^2/2
dω/dt = M/I = μmgR * 2/3 / (mR^2/2) = 4μg/3R
停止时间 t' = 3nR/4μg
转动角度 nt'/2 = 3n^2R/8μg, 圈数再除以 2π

追问

圆环半径r怎么可以和厚度dr取同一个r呢？

Answer 3

第一个用积分，第二个让能量守恒，初始时的动能等于摩擦做的功