Question

如图EFGH分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点

且AE=BF=CG=dh=1\3ab，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为

设边长=1，AE=BF=CG=DH=1/3
ED=√10/3
小正方形边长=√10/3 -1/√10 -1/3√10=√10/5这部怎么算的？

Answer 1

这个题有一个通用的解法，例如AE=BF=CG=DH=¹/nAB
设AF交ED、BG于K、L，CH交BG、ED于M、N
∵AE=CG,∴EB=GD,∴BGDE为平行四边形，∴BG∥ED;同理，AF∥HC;
在Rt△ABF和Rt△BCG中，∵AB=BC,BF=CG,∴Rt△ABF≌Rt△BCG,∴∠BAF=∠CAG
∴∠BAF+∠CBG=90°，∴KLMN为正方形
设AB=1,则AE=BF=CG=DH=¹/n；
AF²=AB²+BF²=1+1/n²,∴AF=√(1+1/n²)
△ABF∽△AKE,∴AF:AE=BF:KE,∴KE=BF•AE/AF=1/(n²√(1+1/n²))=1/(n√(1+n²))
∴AK²=AE²-KE²=1/n²-1/(n²(1+n²))=((1+n²)-1)/(n²(1+n²))=1/(1+n²)
∴AK=1/√(1+n²)∴KL=AF-AK-LF=√(1+1/n²)-1/√(1+n²)-1/(n√(1+n²))=(n-1)/√(1+n²)
KLMN面积=KL²=（n-1)²/(1+n²)-----------通用公式
当n=3时，面积比为(3-1)²/(1+3²)=4/10=2/5
当然，可以直接用3代替n