Question

已知向量a、b，求证：a·b=1/2（|a+b|的平方-|a|的平方-|b|的平方）

Answer 1

如图，设平行四边形ABCD中，向量AB=向量a，向量AC=向量b，则向量AC=向量a+向量b，注意向量a、b的夹角A与∠B互补，故cosB=-cosA。

由余弦定理：AC²=AB²+BC²-2·AB·BCcosB=AB²+BC²+2·AB·BCcosA，即

|a+b|²=|a|²+|b|²+2|a|·|b|cosA=|a|²+|b|²+2a·b

∴ a·b=(1/2)(|a+b|²-|a|²-|b|²)