Question

设m为整数,且关于x的方程mx^2+2(m-5)x+m-4=0有整数根,则m的值为?

设m为整数,且关于x的方程mx^2+2(m-5)x+m-4=0有整数根,则m的值为?

Answer 1

1、若m=0,方程为-10x-4=0,根不是整数。
2、方程为x的二次方程，即m不等于0。方程有根，那么Δ≥0，也就是Δ=4(m-5)^2-4m(m-4)=100-24m=4(25-6m)≥0
方程的根为 x=[-2(m-5)±根号(Δ)]/2m=[2(5-m)±2根号(25-6m)]/2m=[(5-m)±根号(25-6m)]/m=(5/m-1)±[根号(25-6m)/m]
既然方程有整根，那么25-6m一定是个平方数，而且满足25/6≥m.
设25-6m=k^2(k>0且k为整数),则m=(25-k^2)/6=(5-k)(5+k)/6.则方程根为5/m-1±k/m=(5±k)/m-1
将m=(25-k^2)/6代入得6(5±k)/(5-k)(5+k)-1,那么方程两个根可以写成x1=6/(5-k) -1,x2=6/(5+k)-1
若x1是整数，那么只有当k=2,3,4,6,7,8时，6/(5-k)为整数。其对应的m分别为21/6,16/6,9/6,-11/6,-4,39/6.
若x2是整数，那么只有当k=1时，6/(5+k)为整数。对应的m=4.
其中m是整数的只有m=-4,4.所以m的值为-4,4.

Answer 2

有整数根.用 b^2-4ac>=0.
a是m b是2(m-5)乘进去.2m-10 c是m-4
代进去求.
(2m-10)^2-4m(m-4)>=0
2m-40m+100-4m^2+16m>=0
-4m^2-22m+100>=0
(m+11/4)^2>=25+121/16
m+11/4>=5+11/4
m>=5