Question

求证：（ac+bd） 2 ≤（a 2 +b 2 ）（c 2 +d 2 ）．

Answer 1

证明：解法1 （分析法）要证（ac+bd） ² ≤（a ² +b ² ）（c ² +d ² ），（2分）
即证：a ² c ² +b ² d ² +2abcd≤a ² c ² +a ² d ² +b ² c ² +b ² d ² ，（4分）
即证：2abcd≤a ² d ² +b ² c ² ，（6分）
即证：0≤a ² d ² +b ² c ² -2abcd=（ad+bc） ² ，（8分）
上式明显成立．（10分）  故（ac+bd） ² ≤（a ² +b ² ）（c ² +d ² ）（12分）
解法2 （综合法）因为a ² d ² +b ² c ² ≥2abcd（重要不等式）（3分）
所以（ac+bd） ² =a ² c ² +b ² d ² +2abcd（6分）≤a ² c ² +a ² d ² +b ² c ² +b ² d ² （9分）=（a ² +b ² ）（c ² +d ² ）（12分）
解法3 （作差法）因为（a ² +b ² ）（c ² +d ² ）-（ac+bd） ² （2分）=（a ² c ² +a ² d ² +b ² c ² +b ² d ² ）-（a ² c ² +b ² d ² +2abcd）（5分）
=b ² c ² +a ² d ² -2abcd（8分）=（b ² c ² -a ² d ² ） ² ≥0（10分）
所以（ac+bd） ² ≤（a ² +b ² ）（c ² +d ² ）． （12分）