求证:(ac+bd) 2 ≤(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ).

 我来答
抛下思念17
2022-09-08 · TA获得超过1.1万个赞
知道大有可为答主
回答量:6472
采纳率:99%
帮助的人:36.7万
展开全部
证明:解法1 (分析法)要证(ac+bd) 2 ≤(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ),(2分)
即证:a 2 c 2 +b 2 d 2 +2abcd≤a 2 c 2 +a 2 d 2 +b 2 c 2 +b 2 d 2 ,(4分)
即证:2abcd≤a 2 d 2 +b 2 c 2 ,(6分)
即证:0≤a 2 d 2 +b 2 c 2 -2abcd=(ad+bc) 2 ,(8分)
上式明显成立.(10分)  故(ac+bd) 2 ≤(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )(12分)
解法2 (综合法)因为a 2 d 2 +b 2 c 2 ≥2abcd(重要不等式)(3分)
所以(ac+bd) 2 =a 2 c 2 +b 2 d 2 +2abcd(6分)≤a 2 c 2 +a 2 d 2 +b 2 c 2 +b 2 d 2 (9分)=(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )(12分)
解法3 (作差法)因为(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 )-(ac+bd) 2 (2分)=(a 2 c 2 +a 2 d 2 +b 2 c 2 +b 2 d 2 )-(a 2 c 2 +b 2 d 2 +2abcd)(5分)
=b 2 c 2 +a 2 d 2 -2abcd(8分)=(b 2 c 2 -a 2 d 2 2 ≥0(10分)
所以(ac+bd) 2 ≤(a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ). (12分)
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式