Question

已知a.b.c为实数，且多项式x^3+ax^2+bx+c能够被x-1和x+4整除，求4a+c和2a-2b-c的值

Answer 1

谢谢你提的问题，这个问题很好，它引发了我的思考。以下是我对于这个问题的思考与理解，供你参考：

已知x^3 + ax^2 + bx + c能够被x - 1和x + 4整除，那么x = 1和x = -4都是该多项式的根。将这两个根分别代入多项式，我们可以得到两个方程：

1. 当x = 1时：1 + a + b + c = 0

2. 当x = -4时：(-4)^3 + a*(-4)^2 + b*(-4) + c = 0，即-64 + 16a - 4b + c = 0

我们需要求4a + c和2a - 2b - c的值。

解方程组：

1. 从第一个方程中得到：c = -1 - a - b

2. 代入第二个方程：-64 + 16a - 4b - 1 - a - b = 0，整理得：15a - 3b = 65

除以3得到：5a - b = 65 / 3

现在我们有两个方程：

1. c = -1 - a - b

2. 5a - b = 65 / 3

我们需要求4a + c和2a - 2b - c的值。首先我们将第一个方程的c带入这两个表达式：

4a + c = 4a + (-1 - a - b) = 3a - b - 1
2a - 2b - c = 2a - 2b - (-1 - a - b) = a + b + 1

接下来，我们可以将第二个方程中的b代入这两个表达式：

1. 3a - b - 1 = 3a - (5a - 65/3) - 1 = -2a + 65/3 - 1 = -2a + 62/3

2. a + b + 1 = a + (5a - 65/3) + 1 = 6a - 65/3 + 1 = 6a - 62/3

所以，4a + c = -2a + 62/3，2a - 2b - c = 6a - 62/3。

供参考，望笑纳！