Question

初二2道数学题

第一题 左边图
如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E是AB边的中点，P是AC上一动点，PB+PE的最小值是根3，求AB的值
第二题 右边图
如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E，F分别是AD，CD边上的2个动点，且满足AE+CF=2
(1)求证：△BDE≌△BCF
(2)判断△BEF的形状，并说明理由
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围

Answer 1

1.作E关于AC的对称点F，F必在边AD上，连接FB，交AC于P，则此时PB+PE最小。

菱形ABCD中，角ABC=120度，所以角BAD=60度，AE=AF，所以三角形AEF是等边三角形，所以角BEF=120度，所以EF:BE:BF=1:1:根号3，而PB+PE=BF=根号3

所以BE=1，所以AB=2BE=2或者可以证明三角形ABF是直角三角形，且角ABF=30度，BF=根号3，则AE=1,AB=2

2.(1)菱形ABCD中，BD=AB=2，所以三角形ABD和BCD都是等边三角形，所以角ADB=角C=60度

而AE+CF=AE+DE=2,所以DE=CF,所以三角形BDE全等于三角形BCF（SAS）

(2)由（1）得BE=BF，角EBD=角FBC，所以角EBF=角EBD+角DBF=角CBF+角DBF=60

所以三角形BEF是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）

（3）等边三角形的面积为根号3/4*边长的平方，而等边三角形BEF的边长为BE,

BE又在等边三角形ABD中，当E点变化时，BE也随着变化，但是BE的最大值是BA=2，最小值是高线根号3，所以面积取值范围是：3*根号3/4小于等于面积小于等于根号3.

Answer 2

字太小了啊……