Question

已知三个不同的实数abc满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实跟，方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0

也有一个相同的实跟，求abc的值

Answer 1

因为x^2+ax+1=0与x^2+bx+c=0有一个相同实根，因此相减得相同实根是x=(c-1)/(a-b)=(c-1)/(3-c)。

代入原方程可得(c-1)^2+a*(3-c)(c-1)+(3-c)^2=0-------①

同理，由于x^2+x+a=0与x^2+cx+b=0有相同实根。

所以相减得相同实根是x=(a-b)/(c-1)=(3-c)/(c-1)

代入原方程可得(3-c)^2+(3-c)(c-1)+a(c-1)^2=0---------②

又由已知a-b+c=3，----------③

下面解联立方程组①②③。

①-②得(a-1)(3-c)(c-1)-(a-1)(c-1)^2=0。

分解得(a-1)(c-1)(4-2c)=0

若a=1，则方程x^2+x+1=0无实根，所以a≠1。

又c-1≠0，因此可得c=2，代入①得a=-2，由此得b=-3。

二元一次方程一般解法：

消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

1、代入消元

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7

把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7

∴x=-24/7，y=59/7

这种解法就是代入消元法。

2、加减消元

例：解方程组x+y=9① x-y=5②

解：①+②，得2x=14，即x=7

把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2

∴x=7，y=2

这种解法就是加减消元法。

Answer 2

解：设方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0 的一个相同的实根是α，则
α2+αx+1=0…………(1)
α2+bα+c=0 .…………(2)
(1)-(2)，得 (a-b) α+(1-c)=0
因为a≠b，所以 α=（ c-1)/(a-b)
设方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0的一个相同的实根是β，则
β2+β+a=0…………(3)
β2+cβ+b=0…………(4)
(4)-(3)，得 (1-c)β+(a-b)=0，
因为a不能为0（否则x2+ax+1=0就无解），所以c≠1，所以β=(a-b)/(c-1)
不难看出： α=1/β
所以，以下四个方程都有同一个根β
β2+aβ+1=0………… (a)
cβ2+bβ+1=0…………(b)
β2+β+a=0 …………(c)
β2+cβ+b=0…………(d)
由 (c)-(a) ，得 (1-a)β+(a-1)=0，
因为方程 x2+ax+1=0有实数根， 所以a≠1, 所以β=1
代回 (a) 跟 (b) 得 a=-2,b+c=-1 .
考虑到 a-b+c=3, 故得 a=-2, b=-3, c=2.

Answer 3

X2+bx+c-(x2+cx+b)=0
(b-c)x=b-c
x=1
带入1式：
a=-2
所以：b+c=-1
b-c=5
b=-3
c=-2

Answer 4

a=-2,b=-2.5,c=2.5
现把第二和第四个算式减一下,能求出a和x,再把第三个和第五个算式减一下