Question

等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=8，P为BC中点，小慧拿着含30°的透明三角板，使30°角落在点P，三角板

Answer 1

2005?扬州）等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
考点：相似三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：压轴题；存在型．分析：（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；
（2）①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明，③小题求出△BPE中BE上的高，求出△PEF中EF上的高，得出关系式．解答：（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：①△BPE∽△CFP；
②△BPE与△PFE相似．
下面证明结论：
同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP BE =PF PE ，而CP=BP，因此BP BE =PF PE ．
又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
③由②得△BPE∽△PFE，所以∠BEP=∠PEF．
分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM=PN．
连AP，在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8，可得AP=4．
所以PM=2 3 ，所以PN=2 3 ，
所以s=1 2 PN×EF= 3m

Answer 2

1）证明：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，所以∠B=∠C=30°，
　因为∠B+∠BPE+∠BEP=180° 所以∠BPE+∠BEP=150°
因为∠EPF=30°，又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°
所以∠BPE+∠CPF=150°
所以∠BEP=∠CPF　　　　　　　
所以△BPE∽△CFP 　　　　　　　　　　　　　　　
（2）①△BPE∽△CFP
②△BPE与△PFE相似。　　　　　　　　　
下面证明结论
同（1）可证△BPE∽△CFP得CP：BE=PF：PE ，而CP=BP
因此BP：BE=PF：PE ，　　　　　　　　 　
又因为∠EBP=∠EPF，
所以△BPE∽△PFE

Answer 3

1）证明：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，所以∠B=∠C=30°，
　因为∠B+∠BPE+∠BEP=180° 所以∠BPE+∠BEP=150°
因为∠EPF=30°，又因为 ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°
所以∠BPE+∠CPF=150°
所以∠BEP=∠CPF　　　　　　　
所以△BPE∽△CFP 　　　　　　　　　　　　　　　
（2）①△BPE∽△CFP
②△BPE与△PFE相似。　　　　　　　　　
下面证明结论
同（1）可证△BPE∽△CFP得CP：BE=PF：PE ，而CP=BP
因此BP：BE=PF：PE ，　　　　　　　　 　
又因为∠EBP=∠EPF，
所以△BPE∽△PFE

Answer 4

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