Question

2009河南中考数学答案

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0），C（8，0），D（8，8）。抛物线y=ax²+bx过A，C

我的问题是：连接EQ。在点P，Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请写出过程，谢谢大家了
拜托了

Answer 1

　　解：咱们重点分析您的提问，前两问也顺手牵羊。

　　1、抛物线的解析式为：
　　y = （-- 1/2）x 方 + 4x

　　2、当 t = 4 时，线段EG 最长，其长度为 2。

　　3、由tan∠PAE = PE/AP = BC/AB 及BC=4、AB=8，得：
　　PE/AP = 1/2
　　∴ PE = AP/2 = t / 2

　　在Rt△APE 中，AP = t，PE = AP/2 = t / 2，
　　由勾股定理易求得：AE = （√5/2) t。

　　∴ EC = AC -- AE
　　= 4√5 -- （√5/2) t

　　点P，Q运动的过程中，有 ”三“ 个时刻
　　使得△CEQ是等腰三角形，以下重点讨论：

　　时刻①：当 EQ = EC 时。

　　过点E 作 EN ⊥ CQ 于点N，
　　∵ EQ = EC，EN ⊥ CQ
　　∴ 点N为 线段CQ 的中点

　　在Rt△CEN 中，
　　CN = CQ/2 = t/2，EC = 4√5 -- （√5/2) t，

　　在Rt△CAD 中，
　　CD = 8， AC = 4√5，

　　由 Rt△CEN ∽ Rt△CAD 得：

　　CN ：CD = EC ：AC

　　则（t/2）：8 = [ 4√5 --（√5/2) t ] ：（4√5）

　　∴ （t/2）×（4√5）= 8 × [ 4√5 --（√5/2) t ]

　　两边同乘以 √5，得：

　　10t = 160 -- 20t

　　t = 16/3

　　时刻②：当 QE = QC 时。
　　过点Q 作QM ⊥ EC 于点M，则M为线段EC的中点。

　　在Rt△CMQ 中，
　　CM = CE/2 = [ 4√5 -- （√5/2) t ]/2 ， CQ = t，

　　在Rt△CDA 中，
　　CD = 8， CA = 4√5，

　　由 Rt△CMQ ∽ Rt△CDA，得：
　　CM ：CD = CQ ：CA

　　∴ [ 4√5 -- （√5/2) t ]/2 ： 8 = t ： （4√5）

　　∴ [ 4√5 -- （√5/2) t ]/2 × （4√5）= 8t

　　∴ 40 -- 5t = 8t

　　∴ 13t = 40

　　∴ t = 40/13

　　时刻③：当 EC = CQ 时。

　　∵ EC = 4√5 -- （√5/2) t，CQ = t，

　　∴ 4√5 -- （√5/2) t = t，

　　∴ （√5/2) t + t = 4√5

　　∴ [（2 + √5）/ 2 ] × t = 4√5

　　∴ t = 4√5 ÷ [（2 + √5）/ 2 ]

　　= （8√5）/ （2 + √5）

　　注：1、关于时刻① 和时刻②的求解，除利用相似的方案之外，
　　当然还可以用“三角函数”的方案解决线段长度的比值问题；

　　2、强烈呼吁各中学一线教师同仁 减少作业量！
　　真正达到 “精做细讲” ，把题目的变数及延伸在课堂上
　　和同学们一道探究、钻研透彻，基本达到 “一见题目就有思路” 。

Answer 2

第②时刻：延长 PE 交 DC 于一点M，则 PM ⊥ DC 。
∵ΔAPE∽ΔABC
∴AP / PE ＝ AB / BC＝ 2
∴PE= t / 2
∴EM=AD－AF＝PM－PE＝4－t / 2
∵CM＝PB＝8 t
∴QM＝(8－t)－t＝8－2 t
由勾股定理可得：EQ^2=EM^2+QM^2
(8－2t)^2＋(4t / 2)^2＝t^2
解得：t1＝102/13(舍)；t2＝40/13
∴当EQ＝CQ时， t＝40/13