Question

如图甲，在三角形ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.

(1)
若∠C-∠B=α（∠C＞∠B),求∠DAE的度数（用含有α的代数式表示）并证明过程。
回答好加分

Answer 1

解答：∠BAC=180度-∠B-∠C，
AE平分∠BAC，所以∠CAE=90度-1/2∠B-1/2∠C，
AD⊥BC，所以∠CAD=90度-∠C，
所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=（90度-1/2∠B-1/2∠C）-（90度-∠C）
=1/2∠C-1/2∠B=1/2（∠C-∠B）=1/2α

追问

若∠C-∠B=30度，则∠DAE=（ ）

追答

这时α=30度，所以∠DAE=1/2α=15度。

Answer 2

因为AE平分∠BAC
所以∠CAE=(1/2)×∠BAC
因为∠BAC是△ABC的一个内角
所以∠BAC=180°-∠B-∠C
所以∠CAE=(1/2)×(180°-∠B-∠C)=90°-(1/2)×∠B-(1/2)×∠C
因为AD⊥BC
所以∠DAC=90°-∠C
所以∠DAE=∠CAE-∠DAC
=90°-(1/2)×∠B-(1/2)×∠C-(90°-∠C)
=90°-(1/2)×∠B-(1/2)×∠C-90°+∠C
=(1/2)×∠C-(1/2)×∠B
=(1/2)×(∠C-∠B)
=(1/2)×α

Answer 3

∠C-∠B=α,∠C=∠B+α
∠DEA=∠B+∠EAB=90°-∠DAE,
∠DEA+∠EAC+∠C=180°,
90°-∠DAE+∠EAB+∠B+α=180°,[∠EAC=∠EAB]
90°-∠DAE+90°-∠DAE+α=180°,[∠B+∠EAB=90°-∠DAE]
∠DAE=α/2.

追问

若∠C-∠B=30度，则∠DAE=（ ）

追答

∠C-∠B=α=30度,
∠DAE=（α/2 ）=15度

Answer 4

直角△DAC中：∠DAC+∠C=90° 即：∠DAC=90°-∠C
∠DAE=∠CAE-∠DAC
=1/2∠BAC-∠DAC
=1/2(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)
=90°-1/2∠B-1/2∠C-90°+∠C
=1/2(∠C-∠B)
=1/2α

追问

若∠C-∠B=30度，则∠DAE=（ ）

追答

若∠C-∠B=30度，则∠DAE=1/2(∠C-∠B)=1/2×30°=15°

Answer 5

证明：AD⊥BC，
所以，∠CAD=90°-∠C，
∠CAB=180°-∠C-∠B，
AE平分∠BAC，
所以，∠CAE=∠BAE=1/2(180°-∠C-∠B)=90°-1/2∠C-1/2∠B,
∠DAE =∠CAE-∠CAD=1/2∠C-1/2∠B=1/2(∠C-∠B)=1/2α

追问

若∠C-∠B=30度，则∠DAE=（ ）

追答

=15°

Answer 6

因为AE平分∠BAC
所以∠CAE=(1/2)×∠BAC
因为∠BAC是△ABC的一个内角
所以∠BAC=180°-∠B-∠C
所以∠CAE=(1/2)×(180°-∠B-∠C)=90°-(1/2)×∠B-(1/2)×∠C
因为AD⊥BC
所以∠DAC=90°-∠C
所以∠DAE=∠CAE-∠DAC

=(1/2)×α 。