Question

一道数学压轴题，有点难度，恳请高手进来看看

可能题目长了点，但请您耐心看看，谢谢了，过程好，我一定重赏的
已知：如图12，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，BC＝5cm，CD＝6cm，∠DCB＝60°，∠ABC＝90°。等边三角形MPN（N为不动点）的边长为 cm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线 上，NC＝8cm。将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。
（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？
（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？

答案（1）重叠部分的面积等于根号3cm^2 （2）等边三角形的边长a至少为10cm（3）等边三角形的边长为（根号21+2）cm.......................................我要过程，简洁明了些

Answer 1

解：
1）翻转两次梯形记作A''B''C''D''，B''N=2BC-NC=2*5-8=2cm；
显然因为∠DCB＝60°，重叠部分也为一等边三角形，边长=B‘’N=2，
故面积=(1/2)*2*2*sin∠60°=根号3cm^2；（等边三角形知边长求面积应该不困难吧！）
2）翻转三次梯形记作A'''B'''C'''D''',通过计算知AD=2，AB=3根号3
要使直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积
即梯形完全在等边三角形内，画图可知，把A'''D'''延长交PN与E点，显然EN=D'''C'''=6
PE=A'''E(易证三角形PD'''E为等边三角形)，A'''E=A'''D'''+D'''E=AD+C'''N=2+2=4()
故边长PN=PE+EN=4+6=10，此为最小边长，故a至少为10cm；
3）由题意不难知道PM比交PN于F点，重叠面积为梯形面积一般，梯形面积S=1/2*（2+5）*3根号3=21根号3/2;一半为21根号3/4，即等边三角形FMN=21根号3/4，从而有边长MC'''=根号21，
而C'''N=2，故MN=MC'''+C'''N=根号21+2

这题把图画好不难，附：等边三角形面积=边长² *根号3/4