Question

高一数学函数题（对数）

（1)求f(x)的定义域
（2）在y=f(x)的图像上是否存在不同的点使这两点的直线与x轴平行？证明你 的结论
（3）当x<2时 f(x)<4恒成立 求a的取值范围

Answer 1

（1） 令u=logax，则x=a^u，由此得
f（u）=a(a^u-1/a^u)/(a^2-1)
故f（x）= a(a^x-1/a^x)/(a^2-1)，x∈R。
（2）设x1≠x2，而a^x1-1/a^x1=a^x2-1/a^x2
，由此可得
(a^x1-a^x2)+(1/a^x2-1/x^1)
(a^x1-a^x2)+(a^x1-a^x2)/a^x21/x^1)
=(a^x1-a^x2)[1+1/a^(x1+x2)]
故a^x1=a^x2，
即x1=x2，这与x1≠x2矛盾，故不存在
(3). f(x)为增函数，令x=2带入方程，得
a(a^2-a^-2)/(a^2-1)＜4.
[a(a^4-1)/a^2]/ (a^2-1)
=[(a^2-1)(a^2+1)/a]/ (a^2-1)
= (a^2+1)/a
即 a^2-4a+1<0,解得-√3+2＜a＜√3+2,
又a＞0且a≠1,则（-√3+2，1）∪（1，√3+2）。

Answer 2

先求f(x),用换元法： 令t=log(a)x, 则x=a^t, 代入解析式， 分母不为0 ，求得定义域 R

2）设存在，并设x1≠x2，
而a^x1-1/a^x1=a^x2-1/a^x2
，由此可得
(a^x1-a^x2)+(1/a^x2-1/x^1)
(a^x1-a^x2)+(a^x1-a^x2)/a^x21/x^1)
=(a^x1-a^x2)[1+1/a^(x1+x2)]
故a^x1=a^x2，
即x1=x2，这与x1≠x2矛盾，故不存在
(3)要使当x<2时， f(x)<4恒成立
只需f(x)的最大值小于4即可，
又 f(x)在x<2时为增函数，

令x=2代入方程，得
a(a^2-a^-2)/(a^2-1)＜4.
[a(a^4-1)/a^2]/ (a^2-1)
=[(a^2-1)(a^2+1)/a]/ (a^2-1)
= (a^2+1)/a
即 a^2-4a+1<0,解得-√3+2＜a＜√3+2,
又a＞0且a≠1,则（-√3+2，1）∪（1，√3+2）。

Answer 3

【1】R,【2】不存在。【3】2-√3≤a≤2+√3,且a≠1.