△ABC的三个内角A.B.C成等差数列，abc分别为三个内角ABC所对的边，求证：1/a+b+1/b+c=3/a+b+c
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证明：由题知：C-B=B-A，即：A+C=2B，则A+B+C=3B=180°，得B=60°。
若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c，由余弦定理，得
b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca
欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)..................①
于是原题等价于证明①式成立，交叉相乘得：
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理，得
b^2=c^2+a^2-ca，............................②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立，就等价证明②式成立。而②式已经由余弦定理证得。
所以由此倒推即得。
方法（2）设B>A>C 则：①A+B+C=180;②B-A=A-C →C=2A-B
把②代入①得：A=60 那么B+C=120
推理可得：B=90,C=30
所以△ABC为直角三角形，并且③c=2a
假如1/[a+b]+1/[b+c]=3/[a+b+c]是真的话，则展开可得：
a^2+c^2=ac+b^2
把③代入上式可得：c^2=a^2+b^2符合直角三角形的勾股定律
所以1/[a+b]+1/[b+c]=3/[a+b+c]正确
若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c，由余弦定理，得
b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca
欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)..................①
于是原题等价于证明①式成立，交叉相乘得：
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理，得
b^2=c^2+a^2-ca，............................②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立，就等价证明②式成立。而②式已经由余弦定理证得。
所以由此倒推即得。
方法（2）设B>A>C 则：①A+B+C=180;②B-A=A-C →C=2A-B
把②代入①得：A=60 那么B+C=120
推理可得：B=90,C=30
所以△ABC为直角三角形，并且③c=2a
假如1/[a+b]+1/[b+c]=3/[a+b+c]是真的话，则展开可得：
a^2+c^2=ac+b^2
把③代入上式可得：c^2=a^2+b^2符合直角三角形的勾股定律
所以1/[a+b]+1/[b+c]=3/[a+b+c]正确
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