Question

如图 △ABC中 点O是AC边上的一个动点 过点O作直线MN‖BC 设MN交∠BCA的平分线于E 交∠BCA的外角平分线于F

①求证：OE=OF
②当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形？

Answer 1

①
∵CE是∠BCA的平分线
∴∠BCE=∠ECO
∵BC // MN
∴∠BCE=∠CEO
∴∠CEO=∠ECO
∴OE=OC
同理可证，OF=OC
∴OE=OF

②
由于矩形的对角线交点必定是该矩形两对角线的中点。
所以，当切仅当，点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形

追问

第二问： 请说明求证过程

追答

因为，矩形的对角线交点必定是该矩形两对角线的中点。
所以，只需证明，点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形。
由①知，OE=OC，AO=CO
所以，AO=OE
所以，∠OAE=∠OEA，∠OEC=∠OCE
因为，△AEC内角和是180度。
所以，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180度
所以，∠OEA+∠OEC+∠EAC+∠ECA=180度
所以，∠OEA+∠OEC=90度=∠EAC
同理可证，∠AFC=90度

因为，∠ECF=90度
所以，∠EAF=90度
所以，四边形AECF为矩形