Question

无穷级数：为什么函数必须在指定区间才能展成幂级数？那区间之外的呢？

如：1/(1-x) 这个在（-1，1）可以展成一个无穷级数，那这个范围外面呢？就没有办法用无穷级数来表示了吗？

Answer 1

在0点展开，1/(1-x) = 1+x+x^2+x^3+...+x^n+...
级数的收敛半径an/an+1 = 1
可以在（-1,1）展开成上面的级数。在这范围以外，上面级数是发散的，

但如果不在x=0展开，如在x=-2，收敛半径就是 - 2到1的距离，即3，可以在（-5,1）展开成另一个级数，
1/5[ 1 + (x+4)/5 + (x+4)^2/5^2 + ..... + (x+4)^n/5^n .... ]

主要是看你在哪个点展开，不过多数在x=0

学了复变函数的洛朗级数，你对级数的理解估计会更深

追问

为什么要选择在0处展开呢？按理说每个函数都是在一个区间上存在的。

追答

在哪里展开要看你需要研究的区域，比如这个函数的奇点是x=1，收敛半径是展开点到 x=1 的距离，选择在何处展开时，你要保证你关心的区域全部在收敛区域内。当然，x=0是最简单的，如果在0点已经满足了需要，那就没必要展开成一个比较复杂的级数了

追问

我就想是不是每个函数都可以写成多项式相加的无穷级数这个问题，但是发现有些函数只能在一些区间里面写成无穷级数，那假如想在函数的整个定义域上都写成无穷级数，那应该怎么操作呢？然后就看到了在某个点上展开，我觉得函数在整个定义域上要是都能写成无穷级数，那要在某个点上展开干什么呢？麻烦您了。

追答

并不是所有函数都能在整个定义域内展开成幂级数的，有些函数在实轴上有奇点，就会有一个收敛半径。如y=e^x，在R上有定义，他的收敛半径是R，在整个实轴上可以写成无穷级数。但1/(1-x)，他在x=1无定义，是奇点，有收敛半径，只有在展开点为中心，到展开点距离小于收敛半径的点才呢用无穷级数表示。
如果有多个奇点，收敛半径是展开点到最近奇点的距离

追问

太谢谢您了，那如果我遇到一个函数，我把他的奇点挑出来，那么我就能用幂级数来表示其余的间断的函数了？就是我可以一个分段的无穷级数来完整刻画这个函数？

追答

不是。比如 1/(1-x) ，你在x=无穷就不能展成幂级数。因为你的展开点到x=1的距离总是有限的。总有一个收敛半径。

但学了复变函数的洛朗级数你会知道，如果展式中包含x的负无穷次幂到正无穷次幂，则 x=正负无穷 也是可以用级数表示的。但好像不是叫泰勒级数了，泰勒级数只是包含x的0次幂到正无穷次幂。至于洛朗级数是不是幂级数，忘了。

追问

假如不考虑正负无穷这两个极端的例子，就是在坐标轴上，能不能用分段幂级数来刻画函数呢？从奇点出断开。变复函数还没接触过呢。。您能不能加下我QQ：165281435？谢谢啦？

Answer 2

如果展成x^n形式的级数，那么他只能在（-1，1）范围内收敛，在这个范围外面发散。
而如果你不用x^n，而采用另一组正交函数展开，收敛半径会有所不同。

追问

但是您看例子中的函数，两边是对称的，为什么对面的不能展成无穷级数？或者能不能加上绝对值什么的，再用无穷级数表示？也就是一个函数能不能用不同的无穷级数组合起来表示？或者说所有函数都是一个和式？

追答

“为什么对面的不能展成无穷级数？”，对面指什么？
哦，你是说为什么双曲线中只有一支能被表示么？

追问

就是指这个函数的另一支。这个函数不是关于-1对称的吗？但是只有右半支的一部分收敛。那左半支呢？

追答

函数关于（1，0）点对称，现在表示的是左半支。如果想表示右半支的对称部分，用级数
西格玛（x-2）^n表示，这个级数收敛半径是（1，3）

追问

也就是说通过调整级数，可以把一个特定的函数完全用无穷级数表示出来？

追答

每个级数都有自己的收敛半径，只要收敛半径是无穷，就可以表示出来。

追问

那函数在某个点展开是什么意思？

追答

通常指泰勒级数，f（x）在x0点展开就是f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+1/2!*f''(x0)*(x-x0)^2+……

追问

在某个点展开的意义是什么？是那个点的函数值不好算？所以要用展开之后用多项式来算？

追答

基本上是，有时候一个函数难以分析，我们就用他的泰勒展开，展开到比如2，3项，来近似原来不好处理的函数。

Answer 3

这个要考虑收敛与发散的定义，比如你的这个题，在(-1,1)外面发散，所以不能展开为级数