Question

关于高数下 曲面积分的问题

我想问，这道题 为什么个∑1和∑2的 dS会相等？怎么算出来的？ dS不是等于dydz/cosα吗？？？
还有就是这道题思路是什么，请各位高手指教

Answer 1

我也不知道你指的α是哪个角，如果指两半径的夹角的话，那就是dydz/sinα，因为dy很小，sinα可以近似为X/R，如图，红线为X。

这道题从题干可以看出∑将X,Y,Z的点限在面上，X, Y, Z中就X, Y两者之间存在转换关系，这两个随便用哪个代替哪个都可以化简积分。

追问

书上些的，cosα是在那一点的方向余弦

Answer 2

解答：为什么dS相等的问题，你说的dS=dydz/cosα是对的
"关键"
在于，关于α角的定义，α角为S的曲面法向量，与我们投影面法向量之间的夹角，

比如此题：我们在分成了X负半轴，和正半轴两部分曲面（事实上可以分成4部分）
我们从X负半轴这面的投影，显然cosα为负值（这个α是与x轴的夹角），又因为我们从负方向投影过去，显然该面的法向量为n=（-1，0，0），其与X轴是相反的。
所以上面的应该是cos(180º-α)=－cosα
其就是这个道理。
当然做题的时候要用自己方便记忆的方式来最快反映这个过程。
这里直接就是ds为正，所以必然相等这样。其他时候记得从负半轴投影，要加负号这样。

该题思路，就是因为dS是一个标量，且为正的量。其实际意义就是曲面上的面积。（重点是它为正），dxdy就不一定，两个微量，微量有正负。
又因为X²+Y²+Z²关于X轴，Y轴分别对称，且积分区间对称。由于关于Z的积分积分区间不对称，所以不能
所以在第一，二，三，四象限的积分值都是一样的。所以可以分成四部分。
题目中只利用了关于X轴对称。
只有投影到YOZ面。

Answer 3

sina=y/R
cosa da=dy/R
x>0,cosa=x/R
da=dy/(Rcosa)=dy/x
x<0,cosa=-x/R
da=-dy/x
X>0,x=(R^2-y^2)^(1/2)
x<0, x=-(R^2-y^2)^(1/2)
x>0,dS=Rda dz=Rdydz/(R^2-y^2)^(1/2)
x<0,dS=Rda dz=-Rdydz/[[-(R^2-y^2)^(1/2)]=Rdydz/(R^2-y^2)^(1/2)

Answer 4

看不清

追问

帅哥 你点下图片 然后再对弹出来的图片用鼠标拉一下 在新窗口可以看的很清楚！！