Question

初三函数数学题 请高手解答

已知抛物线y=ax²+bx(a≠0)的顶点在直线y=-1/2x-1，且过点A(4,0）.
(1)求这个抛物线的解析式
(2)设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)设点C(1,-3)，请在抛物线的对称轴上确定一点D，使|AD-CD|的值最大，请直接写出点D的坐标.

Answer 1

1)y=ax^2+bx=a(x+b/2a)^2-b^2/4a,即顶点为(-b/2a,-b^2/4a);
顶点在直线Y=(-1/2)X上，则-b^2/4a=(-1/2)*(-b/2a),b=0或-1(1);
又抛物线y=ax^2+bx过点(4,0),故b只能为-1；
且0=16a+4b,则a=1/4.
即抛物线解析式为：y=(1/4)x^2-x.
2)y=(1/4)x^2-x=(1/4)*(x-2)^2-1.即顶点为（2,-1);
当OB与PA平行时,设直线PA为Y=kx+b,则：
-1=2k+b(1);0=4k+b(2)
解之得:k=1/2,b=-2.即直线PA:y=(1/2)x-2.
则直线OB为:Y=(1/2)X.把Y=(1/2)x与Y=(1/4)x^2-x联立方程组得：x=6(x=0舍去），y=3;即B点为(6,3);
当AB与PO平行时，同时可求得：X=-2(X=4舍去),Y=3.
此时点B为(-2,3).
综上所述,抛物线上有两个符合条件的点B即(6,3)和(-2,3).
3)点C(1,-3)关于对称轴X=2的对称点C'为(3,-3),则AC'与对称轴X=2的交点即为所要求的点D,此时点D为(2,-6).