Question

设复数z=cosθ-sinθ+√2+i〔cosθ+sinθ〕,θ

设复数z=cosθ-sinθ+√2+i〔cosθ+sinθ〕,当θ为何值时，绝对值z取锝最大值？并求此最大值。

Answer 1

|z|²=(cosθ－sinθ＋√2)²＋(cosθ＋sinθ)²=[1－2sinθcosθ＋2√2(cosθ－sinθ)＋2]＋1＋2sinθcosθ=4＋2√2(cosθ－sinθ)=4＋4sin(θ－π/4)，最大4√2，θ－π/4=2kπ＋π/2，θ=2kπ＋3π/4，k整数。

Answer 2

|z|²=(cosθ-sinθ+√2)²+(cosθ+sinθ)²=5+4*sin(45-θ)
当θ=-45+2kπ时，取得最大值|z|²=5+4=9☞|z|max=3