Question

如图，D是等腰RT△ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线EF分别叫AC.AD.AB于E.O.F，BC=2

（1）CD=根号2时，求AE;
(2)证明，当CD=2（根号2-1）时，四边形AEDF为菱形

Answer 1

1:设AE=X,则CE=2-X
容易证三角形AEO全等于三角形DEO 所以DE=AE=X
由CD=√2 在直角△CDE中得:
x＾2=(2-x)＾2+(√2)＾2
x＾2=x＾2-4x+4+2

得:x=3/2

2:
同理设AE=X,当CD=2(√2-1)时
在直角△CDE中得:
x＾2=(2-x)＾2+〔2(√2-1)〕＾2
x＾2=x＾2-4x+4+4(3-2√2)
4x=4+4(3-2√2)

得:x=4-2√2
CE=2-x=2-4+2√2=2√2-2
即得:CE=CD=2√2-2.又因为AC=BC易得:DE//AF.
∠EDA=∠DAF.又因为AO=DO,∠EOD=∠AOF
则有△OED与△OFA全等.即:DE=AF

又因为DE//AF
所以得平行四边形
又因为AE=ED .即得四边形AEDF是菱形!

你看看OK不？

Answer 2

1:设AE=X,则CE=2-X
容易证三角形AEO全等于三角形DEO 所以DE=AE=X
由CD=√2 在直角△CDE中得:
x＾2=(2-x)＾2+(√2)＾2
x＾2=x＾2-4x+4+2

得:x=3/2

2:
同理设AE=X,当CD=2(√2-1)时
在直角△CDE中得:
x＾2=(2-x)＾2+〔2(√2-1)〕＾2
x＾2=x＾2-4x+4+4(3-2√2)
4x=4+4(3-2√2)

得:x=4-2√2
CE=2-x=2-4+2√2=2√2-2
即得:CE=CD=2√2-2.又因为AC=BC易得:DE//AF.
∠EDA=∠DAF.又因为AO=DO,∠EOD=∠AOF
则有△OED与△OFA全等.即:DE=AF

又因为DE//AF
所以得平行四边形
又因为AE=ED .即得四边形AEDF是菱形!

Answer 3

楼上的第二问的解法显然有些麻烦，上半部分是对的
2:
同理设AE=X,当CD=2(√2-1)时
在直角△CDE中得:
x＾2=(2-x)＾2+〔2(√2-1)〕＾2
x＾2=x＾2-4x+4+4(3-2√2)
4x=4+4(3-2√2)

得:x=4-2√2
CE=2-x=2-4+2√2=2√2-2
即得:CE=CD=2√2-2.
所以ec=cd
角edc=角abc
角caf=角ced
所以ed平行ab
ac平行df
所以aedf是平行四边形
因为fe是中垂线，所以ae=ed
所以四边形aedf是菱形

Answer 4

简单得到EA=ED,假设AE=a
EC=2-a
CD=根号2
那么直角三角形ECD中
2+(2-a)^2=a^2
2+4-4a+a^2=a^2
4a=6
a=3/2
所以AE=3/2

过D作DG垂直AB于G,
则三角形BDG也是等腰直角三角形，
由CD=2*（根号2-1）
可得BD=4-2根号2，
从而可得DG=2*（根号2-1)=CD，
所以AD是角A的平分线，
以下你也会证明了
（易知AE=ED,AF=FD，只要再证ED=FD就可以了）