Question

如何证明f(x)=ax2+bx+c(a<0)在区间,小於或等於-2a分之b 上是增函数

我证到一半不会证，请详细写一下

Answer 1

任取x1<x2且x1,x2∈(-∞,-b/2a)
则f(x1)-f(x2)=a(x1)²+b(x1)+c-(a(x2)²+b(x2)+c)
=a(x1²-x2²)+b(x1-x2)
=[a(x1+x2)](x1-x2)+b(x1-x2)
=a[(x1+x2)+b/a](x1-x2)
∵ x1,x2∈(-∞,-b/2a)
∴x1+x2<-b/a
即(x1+x2)+b/a<0
又∵a<0;x1<x2;
∴ f(x1)-f(x2)<0
又∵ x1<x2且x1,x2∈(-∞,-b/2a)
综上所述：f(x)在区间(-∞,-b/2a)上是增函数

所有的证明单调性，都要经过下面这几步（自己总结的）
1.任取（取在定义域里，有两段定义域的不要一起证，分开来）
2.作差（有的时候两数正负相同时可以作商，还有其他的方法，一切视情况而定）
3.变化（就是变形做的差或是商）
4.比较（作差和0比，作商和1比）
5.得结论

Answer 2

如国x1<x2,f(x1)-f(x2)<0则为增函数，你假设一个数小余-2a分之b ，满足前面的不等式就证明出来了

Answer 3

设有x1<x2≤-b/2a a<0
则x2-x1>0 x1+x2≤-b/2a-b/2a≤-b/a a(x1+x2)≥-b
f(x2)-f(x1)=a(x2^2-x1^2)+b(x2-x1)
=(x2-x1)[a(x2+x1)+b)]
≥(x2-x1)[-b+b]
≥0
即f(x2)≥f(x1)
所以f(x)在小於或等於-2a分之b 上是增函数

追问

你寫對了，謝謝！

追答

关键是用到a<0