Question

已知a>0,B>0,C>0且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/C>=9

Answer 1

证明：∵a＋b＋c＝1
∴1/a＋1/b＋1/c＝（a＋b＋c）/a＋（a＋b＋c）/b＋（a＋b＋c）/c
＝1＋b/a＋c/a＋a/b＋1＋c/b＋a/c＋b/c＋1
＝（b/a＋a/b）＋（c/a＋a/c）＋（b/c＋c/b）＋3
≥2＋2＋2＋3＝9
∴1/a＋1/b＋1/c≥9. 证毕！

Answer 2

利用“1的替换”及均值不等式，解法如下：
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1
=b/a+b/a+c/a+a/c+c/b+c/b+3
>=2+2+2+3=9
利用均值不等式，当且仅当1/a=1/b=1/c，即a=b=c=1/3时取等号；

Answer 3

证明：由题设及“柯西不等式”可得：1/a+1/b+1/c=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)²=9.等号仅当a=b=c=1/3时取得。∴1/a+1/b+1/c≥9.

Answer 4

1/a+1/b+1/
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(b/c+c/b)
>=3+2+2+2=9
此时a=b=c=1/3