Question

递归数列求极限

递归数列形式： an+1 =f(an)

第一步，设y=f(x)，即将an+1 换成y，f(an)换成f(x)。这一步一定要做，因为只有函数才能求导，数列是不能求导的。

第二步，对f(x)求导（千万别对f(an)求导，数列不可求导）。进行如下判别：

f ' (x) <=0，即f(x)单调减少

则{an}不可能单调，此时先假设当n->+∞时，an=A,由A=f(A)解出A，

然后设法证明数列{an-A}趋于零。方法如下：
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
设法证明 |an+1-A|=|f(an)-f(A)|=......=k|an-A|

若有0<k<1成立，则有n->+∞时，|an+1-A| -> 0

---------------------------------------------------------------------------------------------------
横线之间如何证明{an-A}趋于零？求高手详细解答

Answer 1

可以这样看
|an+1-A|=|f(an)-f(A)|=......=k|an-A| = |f(an-1)-f(A)| = k²|an-1 - A| .... =k^n |a1-A|

|k|小于1时左边是趋于0的，由平逼有数列我、趋于0

Answer 2

其实如果不是证明题，假定极限存在，即
lim(n->+∞) an = a,
直接对方程两边求极限，得
a=f(a)，
解方程，就可得a。
正常f应该是一个收缩函数，否则不收敛的。

横线之间如何证明{an-A}趋于零？
好像|an+1-A|=|f(an)-f(A)|=......=k|an-A|有点问题，应该是不等式好，不过等式，方法一样可用，即：
最后 |an+1-A|<=k|an-A|， 对于某 k, 0<k<1.
这样 |an+1-A|<=k|an-A|<=k^2|a(n-1)-A|<=k^3|a(n-2)-A|<=......<=k^n|a1-A|,
|a1-A|是常数，k^n收敛于0，当n趋于无穷。 （0<k<1）
所以 |an+1-A|收敛于0，当n趋于无穷。

追问

|an+1-A|<=k|an-A|<=k^2|a(n-1)-A|<=k^3|a(n-2)-A|<=......<=k^n|a1-A|,
这一步看不太懂，能否在详细解释下

追答

|an+1-A|<=k|an-A|, 是一步, 下一步, 继续对an 用不等式 |an - A|<=k|a(n-1) - A|,
放在一起,就是 |an+1-A|<=k^2|a(n-1) - A|,
如此重复用不等式|an+1-A|<=k|an-A|,
关键要注意, n可以是任意的, 所以, 第一次取n, 第二次取n-1, 第三次取n-2, ...., 一直连用下去, 到n取2, 就是:
|an+1-A|<=k|an-A|<=k^2|a(n-1)-A|<=k^3|a(n-2)-A|<=......<=k^n|a1-A|

Answer 3

你的那个版本的教材啊！现在高中不考这个啊