已知x>0,y>0且x+y=1,求证根号(x+1/2)+根号(y+1/2)<=2
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楼上两位都不对。
证：
x+y=1
x+1/2+y+1/2=2
[√(x+1/2)]²+[√(y+1/2)]²=2
由均值不等式，得
2[√(x+1/2)]²+[√(y+1/2)]²≥[√(x+1/2)+√(y+1/2)]²
[√(x+1/2)+√(y+1/2)]²≤4
√(x+1/2)+√(y+1/2)≤2
证：
x+y=1
x+1/2+y+1/2=2
[√(x+1/2)]²+[√(y+1/2)]²=2
由均值不等式，得
2[√(x+1/2)]²+[√(y+1/2)]²≥[√(x+1/2)+√(y+1/2)]²
[√(x+1/2)+√(y+1/2)]²≤4
√(x+1/2)+√(y+1/2)≤2
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因为(a+b)^2=a^2+b^2+2ab<= a^2+b^2+ a^2+b^2=2(a^2+b^2)，
令a=根号(x+1/2),b=根号(y+1/2)得：
所以[根号(x+1/2)+根号(y+1/2)]^2<=2[(x+1/2)+ (y+1/2)]
=4.
所以结论成立。
令a=根号(x+1/2),b=根号(y+1/2)得：
所以[根号(x+1/2)+根号(y+1/2)]^2<=2[(x+1/2)+ (y+1/2)]
=4.
所以结论成立。
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证明：左边和的平方<=4,用到根号（xy)<1/2(x+y)
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