Question

f(x)=1/4 x^4+x^3- 9/2 x^2+cx有三个极值点，证明-27<c<5

Answer 1

f(x)有三个极值点，说明f'(x)=0至少有3个解
f'(x)=x^3+3x^2-9x+c
f''(x)=3x^2+6x-9=3(x-1)(x+3)
f''(x)=0得x=1或-3
而f'(-3)=27+c，f'(1)=c-5
要使得f'(x)=0有3个解
则有f'(-3)>0，f'(1)<0
解得-27<c<5

Answer 2

求导
f'=x^3+3x^2-9x+c=0
x^3+3x^2-9x=-c
根据题意
令g=x^3+3x^2-9x
g‘=3x^2+6x-9
则gmin= g(1)=-5
gmax=g(-3)=27
只需 gmin <-c<gmax
即可保证有三个相异实根
所以-5< -c<27
-27<c<5