Question

初一数学题5道（关于全等三角形）

1.已知如图，AD‖BC, ∠1=∠2，∠3=∠4，点E在DC上，求证：AD+BC=AB.
2. 已知如图，AD为△ABC中线，∠ADB和∠ADC的平分线交AB、AC于E、F，求证：BE+CF＞EF.
3.已知如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD,AE是△ABC中线，求证：AC=2AE.
4. 线段BE上有一点C。以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC,DCE，连接AE,BD,分别交CD,CA于Q,P. （1） 找出图中的几组全等三角形，又有那几组全等的线段? （2） 取AE的中点,BD的中点N，连接MN，试判断△CMN的形状.

5. (1)如图（1），ABC在同一条直线上，△ABD和△BCE为等边三角形，试说明AE=DC,BF=BG (2)如图（2），ABC不在同一条直线上，△ABD和△BCE为等边三角形，上题的结论仍成立吗？ (3)如图（1），连接F、G能得出什么结论？ 图（1)
图（2）

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

Answer 1

第一题：在AB上截取AM＝AD，连接ME
∵AE平分∠DAB
∴∠DAE＝∠MAE＝∠DAB/2
又∵AE＝AE
∴△DAE≌△MAE（SAS）
∴∠DEA＝∠MEA，MA＝DA
∵BE平分∠CAB
∴∠ABE＝∠CBE＝∠CAB/2
∵DA//CB
∴∠DAB＋∠CAB＝180°
∴∠ABE＋∠EAB＝90°
∴∠BEA＝90
∴∠MEA＋∠MEB＝90°，∠DEA＋CEB＝90°
∴∠MEB＝∠CEB
又∵BE＝BE
∴△BCE≌△BME（ASA）
∴MB＝CB
∴AB＝MB＋MA
即AD＋BC=AB

第二题：证明：延长FD到点G，使DG=DF；连接GB、GE
∵∠ADB、∠ADC的平分线分别与AB、AC交于EF
∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=1/2∠BDA+1/2∠CDA=1/2×180=90
∴ED垂直平分GF
∴EF=EG
在△BDG和△CDF中
BD=CD, ∠BDG=∠CDF, DG=DF
∴△BDG≌△CDF(SAS)
∴BG=CF
∵在△BEG中,BE+BG＞GE
∴BE+CF＞FE

第三题 证明：延长AE至F，使EF=AE，连结BF、DF，则ABFD是平行四边形。
则∠DAB+∠ABF=180，
又∠ADB=∠DAB，∠ADB+∠ADC=180。
∴∠ADB=∠ABF
在△ADC和△ABF中
DC=AB，AD=BF，∠ADC=∠ABF
∴AC=AF=2AE

第四题：1.△DCB ≌△ACE,
因为BC=AC,DC=CE,
∠ACE=∠BCD,所以两个三角形全等
2.因为条件AE中点M, BD中点N，且AE=BD,两个全等三角形的中线相等
所以CM＝CN
可以用一个特例就是在第一题中，C点是BE的中点，那在第2题中的MN就是三角形DBC的中位线，所以MN=1/2BC
MC,NC分别是DEB,ABE的中位线，所以MC=1/2DE,NC=1/2AB，
又因为AB=DE=BC，所以MC=NC=MN
所以.△CMN是等边三角形

第五题：证明：（1）∵AB=BD，∠ABE=∠CBD=120°，
BE=BC∴△ABE≌△DBC
AE=CD ∠EAB=∠CDE
∵AB=BD ∠ABD＝∠BDE
∴△ABF≌△DBG∴BF＝BG
（2）仍然成立 证明方法同上一题一样
3)如图连接F、G，由1得△FGB为等边三角形

Answer 2

题有问题

追问

有吗？？在哪

Answer 3

一：在AB上截取AM＝AD，连接ME
∵AE平分∠DAB
∴∠DAE＝∠MAE＝∠DAB/2
又∵AE＝AE
∴△DAE≌△MAE（SAS）
∴∠DEA＝∠MEA，MA＝DA
∵BE平分∠CAB
∴∠ABE＝∠CBE＝∠CAB/2
∵DA//CB
∴∠DAB＋∠CAB＝180°
∴∠ABE＋∠EAB＝90°
∴∠BEA＝90
∴∠MEA＋∠MEB＝90°，∠DEA＋CEB＝90°
∴∠MEB＝∠CEB
又∵BE＝BE
∴△BCE≌△BME（ASA）
∴MB＝CB
∴AB＝MB＋MA
即AD＋BC=AB

二：延长FD到点G，使DG=DF；连接GB、GE
∵∠ADB、∠ADC的平分线分别与AB、AC交于EF
∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=1/2∠BDA+1/2∠CDA=1/2×180=90
∴ED垂直平分GF
∴EF=EG
在△BDG和△CDF中
BD=CD, ∠BDG=∠CDF, DG=DF
∴△BDG≌△CDF(SAS)
∴BG=CF
∵在△BEG中,BE+BG＞GE
∴BE+CF＞FE

三:延长AE至F，使EF=AE，连结BF、DF，则ABFD是平行四边形。
则∠DAB+∠ABF=180，
又∠ADB=∠DAB，∠ADB+∠ADC=180。
∴∠ADB=∠ABF
在△ADC和△ABF中
DC=AB，AD=BF，∠ADC=∠ABF
∴AC=AF=2AE

四：1.△DCB ≌△ACE,
因为BC=AC,DC=CE,
∠ACE=∠BCD,所以两个三角形全等
2.因为条件AE中点M, BD中点N，且AE=BD,两个全等三角形的中线相等
所以CM＝CN
可以用一个特例就是在第一题中，C点是BE的中点，那在第2题中的MN就是三角形DBC的中位线，所以MN=1/2BC
MC,NC分别是DEB,ABE的中位线，所以MC=1/2DE,NC=1/2AB，
又因为AB=DE=BC，所以MC=NC=MN
所以.△CMN是等边三角形

五：（1）∵AB=BD，∠ABE=∠CBD=120°，
BE=BC∴△ABE≌△DBC
AE=CD ∠EAB=∠CDE
∵AB=BD ∠ABD＝∠BDE
∴△ABF≌△DBG∴BF＝BG
（2）仍然成立 证明方法同上一题一样
3)如图连接F、G，由1得△FGB为等边三角形

(kongwei077回答的速度好惊人，不过倒也对~~！)

Answer 4

2.
证明：延长FD到点G，使DG=DF；连接GB、GE
∵∠ADB、∠ADC的平分线分别与AB、AC交于EF
∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=1/2∠BDA+1/2∠CDA=1/2×180=90
∴ED垂直平分GF
∴EF=EG
在△BDG和△CDF中
BD=CD, ∠BDG=∠CDF, DG=DF
∴△BDG≌△CDF(SAS)
∴BG=CF
∵在△BEG中,BE+BG＞GE
∴BE+CF＞FE