Question

美国竞赛:试比较3的2000次方+1除以3的2001次方+1与3的2001次方+1除以3的2002次方+1 的大小

Answer 1

作减法，通分，整理后看差的正负性。

(3^2000 + 1)/(3^2001 + 1) - (3^2001 + 1)/(3^2002 + 1)
= (3^2000 + 1)(3^2002 + 1)/(3^2001 + 1)(3^2002 + 1) - (3^2001 + 1)(3^2001 + 1)/(3^2001 + 1)(3^2002 + 1)
= [(3^2000 + 1)(3^2002 + 1) - (3^2001 + 1)(3^2001 + 1)] / (3^2001 + 1)(3^2002 + 1)
= (3^4002 + 3^2002 + 3^2000 + 1 - 3^4002 - 2*3^2001 - 1)/ (3^2001 + 1)(3^2002 + 1)
= (3^2002 + 3^2000 - 2*3^2001)/(3^2001 + 1)(3^2002 + 1)
= (3*3^2001 - 2*3^2001 + 3^2000)/(3^2001 + 1)(3^2002 + 1)
> 0
显然前者即3的2000次方+1除以3的2001次方+1大。

Answer 2

设函数f(x)=(3^x+1)/[3^(x+1)+1]
∵f'(x)={3^x*(ln3)[3^(x+1)+1]-3^(x+1)*(ln3)(3^x+1)}/[3^(x+1)+1]^2
=(ln3)*3^x*[3^(x+1)+1-3(3^x+1)]/[3^(x+1)+1]^2
=-2*(ln3)*3^x/[3^(x+1)+1]^2<0
∴f(x)是减函数
∴f(2000)>f(2001)
得证。

Answer 3

设后面的数为a/b
把前面那个数上下同乘3,有前面的数=(a+2)/(b+2)
因为当a/b<1时有a/b<(a+m)/(b+m)对任意m>0,所以前面的数大于后面的数
上面命题的证明：
由a/b<1有a<b(设a,b>0)
所以a(b+m)=ab+am<ab+bm=b(a+m)，移项得
所以a/b<(a+m)/(b+m)