Question

过P（1，0）作抛物线y=根号下（x-2）的切线，该切线与上述抛物线及 x轴围成平面图形试求该平面图形的面积

Answer 1

y'=-1/[2√（x-2)], 设切点坐标P（x0, y0),
(y0-0)/(x0-1)=1/[2√（x0-2)],
y0=√（x0-2),
[√（x0-2)]/(x0-1)=1/[2√（x0-2)],
2x0-4=x0-1,
x0=3,y0=1,
切点坐标P（3,1),
切线方程：（y-0)/(x-1)=1/2,
y=x/2-1/2,
图形区域由曲线y=x/2-1/2、y=√（x-2)和X轴所围成，
对直线x坐标值为[1，3]，对抛物线[2，3]
S=∫[1,3][x/2-∫[2,3]√(x-2)]dx
=[x^2/4][1，3]-(2/3)(x-2)^(3/2)][2,3]
=（9-1）/4-（2/3）*（1-0）
=4/3。

追问

若求此图形绕X轴旋转一周所形成的体积？
为什么第一个积分中没有减去1/2，是切线方程中的一部分，第二个积分中为什么不是用切线方程减去抛物线，不是切线方程在抛物线上方比它大吗？S=∫[1,3][x/2-1/2dx+∫[2,3]x/2-1/2-√(x-2)]dx，应该是这样的吧

追答

应是S=∫[1,3](x/2-1/2)dx-∫[2,3]√(x-2)]dx=[1,3](x^2/4-x/2)-[2,3](x-2)^(1/2+1)2/3
=(9/4-3/2-1/4+1/2)-(2/3)(1-0)^(3/2)
=1-2/3=1/3,
是漏输了1/2。旋转体积V=(π/4)∫[1，3]（x-1)^2dx-π∫[2，3]（√(x-2))^2dx
=(π/12)(x/2-1/2)^3[1,3]-π(x-2)^2/2[2,3]
=π/6.

追问

为什么不是这个S=∫[1,3][x/2-1/2dx+∫[2,3]x/2-1/2-√(x-2)]dx？就是这后半部分不明白，为什么不是x/2-1/2-√(x-2)，而是直接-∫[2,3]√(x-2)dx？

追答

切线和抛物线积分区域不一样，切线、X轴和x=3组成三角形面积，区间是从1至3，
而抛物线顶点坐标是（2，0），从2至3部分区域是要去除的，故不能用同一个积分上下限。