Question

设△ABC的三条边为a,b,c,求证ab+bc+ca≤a∧2+b∧2+c∧2<2（a+b+c）

不好意思题目错了
ab+bc+ca≤a∧2+b∧2+c∧2<2（ab+bc+ca

Answer 1

a∧2+b∧2+c∧2-(ab+bc+ca)=1/2(2a∧2+2b∧2+2c∧2-2ab-2bc-2ca)=1/2{(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2}大于或者等于0 所以ab+bc+ca≤a∧2+b∧2+c∧2
a－c＜b (a－c)2＜b 2
a－b＜c ( a－b)2＜c2
b－c＜a ( b－c)2＜a2
然后左右相加 (a－c)2＋( a－b)2＋( b－c)2＜a2＋c2＋b 2化简得a∧2+b∧2+c∧2<2（ab+bc+ca
综上
ab+bc+ca≤a∧2+b∧2+c∧2<2（ab+bc+ca）

Answer 2

a.b.c都>0
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 >0
展开 2a^2+2b^2+2c^2 - (2ab+2bc+2ca) >0
所以 a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

后面一个显然不对啊 比如直角三角形 边长3,4,5
3^2+4^2+5^2 < 2*(3+4+5)
50<24 显然不对

追问

不好意思题目错了
ab+bc+ca≤a∧2+b∧2+c∧2<2（ab+bc+ca）