Question

设F(X)是可导的奇函数，证明它的导数是偶函数

Answer 1

Δx→0时
令 G(x) = f'(x)=lim f(x+Δx)/Δx
则G(-x) = lim f(-x+Δx)/Δx = lim -f(x-Δx)/Δx = lim f(x-Δx)/(-Δx) =f'(x) = G(x)
所以 G(x) = f'(x)
是偶函数
证毕

Answer 2

对f(x)=-f(-x) 由奇函数性质得到
有df(x)/dx=F（x） F（x）为f（x）一阶导数 有d[-f(-x)]/dx=-d[f(-x)]/dx=d[f(-x)]/d（-x）=F（-x）
即F（x）=F（-x）
即 奇函数f(x)的一阶导数F（x）是偶函数
同理还可以证得F（x）的一阶导数是奇函数
由奇函数性质又可得f(0)=-f(-0) 即f(0)=0

Answer 3

if f(x) is odd
then f(x) = -f(-x)

f'(x) = lim(y->0) [f(x+y) - f(x)]/ y
= lim(y->0) [-f(-x-y) + f(-x)]/ y ( f is odd)
= -lim(y->0)[ f(-x-y) - f(-x) ] /y
= lim(-y->0)[ f(-x-y) - f(-x)] / (-y)
= f'(-x)

=> 可导的奇函数其导数函数是偶函数

Answer 4

F(－x)=－F(x)，两边取导数，有：
F'(－x)(－x)'=－F'(x)
－F'(－x)=－F'(x)
F'(－x)=F'(x)
即F'(x)是偶函数。

Answer 5

已知f(x)为奇函数，且可导。
则有f(-x)=-f(x)，
对其两边求导得-f'(-x)=-f'(x)，左边是复合函数，用复合函数的求导法则
就是f'(-x)=f'(x)，得证“设F(X)是可导的奇函数，证明它的导数是偶函数”