Question

在四边形ABCD中,AD平行于BC,∠BAC=∠D,点E,F分别在BC,CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的关系。。

Answer 1

解：（1）AE=EF；

证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H．

则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，

∵AB=BC=AC，∴∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，

∴EH=EC．

∵AD‖BC，∴∠FCE=180°-∠B=120°，

又∠AHE=180°-∠BAC=120°，

∴∠AHE=∠FCE，

∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，∴∠EAC=∠EFC，

∴△AEH≌△FEC，

∴AE=EF；

（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化．

证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，

∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB

∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC

∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°．

∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF

∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，

∴∠EAC=∠EFC，

∴△AEH≌△FEC，

∴AE=EF；

（3）猜想：（1）中的结论发生变化．

证明：过点E作EH‖AB交AC于点H．

由（2）可得∠EAC=∠EFC，

∠AHE=∠DCB=∠ECF，

∴△AEH∽△FEC，

∴AE：EF=EH：EC，

∵EH‖AB，

∴△ABC∽△HEC，

∴EH：EC=AB：BC=k，

∴AE：EF=k，

∴AE=kEF．

Answer 2

∴∠FCE=180°-∠B=120°错了吧