Question

已知数列an首相a1=3,通项an和前n项和SN之间满足2an=Sn*Sn-1（n大于等于2）

求证1/Sn为等差数列 an通项公式

Answer 1

已知数列a‹n›首相a₁=3,通项a‹n›和前n项和S‹n›之间满足2a‹n›=S‹n›*S‹n-1›（n大于等于2）
求证1/S‹n›为等差数列 a‹n›通项公式
解：设b‹n›＝1/S‹n›，由于b‹n›-b‹n-1›=1/S‹n›-1/S‹n-1›=(S‹n-1›)-S‹n›)/S‹n›S‹n-1›
=-a‹n›/2a‹n›=-1/2=常量，∴{b‹n›}={1/S‹n›}是一个公差为 -1/2，首项为1/3的等差数列。
2a‹n›=S‹n›S‹n-1›=1/(b‹n›b‹n-1›)=1/[b₁-(1/2)(n-1)][b₁-(1/2)(n-2)]
=1/[1/3-(1/2)(n-1)][1/3-(1/2)(n-2)]=1/[(5/6-n/2)(4/3-n/2)]=36/(5-3n)(8-3n)
∴a₁=3，当n≥2时，a‹n›=18/(5-3n)(8-3n)=18/(3n-5)(3n-8)。为了符合习惯，把它改写一下：
a₁=3；a‹n+1›=18/{[3(n+1)-5][3(n+1)-8]}=18/[(3n-2)(3n-5)] (n=1，2，3，...........,）
【a₁=3，a₂=-9，a₃=9/2，a₄=9/14，。。。。，】
【可用原公式a‹n›=(1/2)(S‹n›S‹n-1›)进行检验。】

Answer 2

1.
Sn×S(n-1)=2An=2(Sn-S(n-1))
两边除以Sn×S(n-1)
1=2(Sn-S(n-1))/(Sn×S(n-1))
1/S(n-1)-1/Sn=1/2
1/Sn-1/S(n-1)=-1/2
{1/Sn}是公差为-1/2的等差数列

2.
1/S1=1/A1=1/3
1/Sn=1/3+(n-1)×(-1/2)=(5-3n)/2
Sn=6/(5-3n)
n>=2时
An=Sn-S(n-1)=6/(5-3n)-6/(5-3(n-1))=18/((3n-5)(3n-8))

Answer 3

2an=Sn*S<n-1>，
∴2（Sn-S<n-1>)=Sn*S<n-1>,
∴1/Sn-1/S<n-1>=-1/2,
∴{1/Sn}是等差数列。
1/Sn=1/S1+(n-1)(-1/2)=(5-3n)/6,
Sn=6/(5-3n),
n>1时，
an=Sn-S<n-1>=6/(5-3n)-6/(8-3n)=18/[(5-3n)(8-3n)],