Question

求教高一函数题

设a>1，若仅有一个常数C使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log(a)x+log(a)y = C，求：a的取值的集合。

Answer 1

解：
loga(x)＋loga(y)＝C
loga(x•y)＝C
x•y＝a^C
y＝(a^C)/x
∵a^C＞0
∴y＝(a^C)/x单调递减
∴当x∈[a，2a]时，y∈[(a^ C－1)/2，a^(C－1)]
∴[a^(C－1)]/2≥a
a^(C－1)≤a²
＝>C≥2＋loga(2)
C≤3
∵仅有一个常数C符合题意
∴2＋loga(2)＝3
loga(2)＝1
解得：a＝2
∴a的取值的集合为：{ 2 }．

注：对数函数中，括号内是真数